Qual é a Taxa Anual Efetiva (EAR)?
A taxa anual efetiva (EAR) é a taxa efetivamente ganha no investimento ou paga no empréstimo após a capitalização em um determinado período de tempo e é usada para comparar produtos financeiros com diferentes períodos de capitalização, ou seja, semanal, mensal, anual, etc. aumentam, a EAR aumenta.
Fórmula
A EAR é calculada da seguinte forma:
Taxa anual efetiva = (1 + i / n) n - 1
- Onde n = número de períodos de composição
- i = taxa nominal ou a taxa de juros anual dada
A EAR é igual à taxa nominal apenas se a composição for feita anualmente. Conforme o número de períodos de capitalização aumenta, a EAR aumenta. Se for uma fórmula de composição contínua, a EAR será a seguinte:
Taxa anual efetiva (no caso de composição contínua) = ei -
Portanto, o cálculo da taxa anual efetiva depende de dois fatores:
- A taxa nominal de juros
- O número de períodos compostos
O número de períodos compostos é o principal fator à medida que a EAR aumenta com o número de períodos.
Como calcular?
Exemplo 1
Vamos considerar o seguinte exemplo:
Considere uma taxa nominal de 12%. Vamos calcular a taxa anual efetiva quando a composição é composta anual, semestral, trimestral, mensal, semanal, diária e continuamente.
Composição Anual:
- EAR = (1 + 12% / 1) 1 - 1 = 12%
Composição semestral:
- EAR = (1 + 12% / 2) 2 - 1 = 12,36%
Composição Trimestral:
- EAR = (1 + 12% / 4) 4 - 1 = 12,55%
Composição mensal:
- EAR = (1 + 12% / 12) 12 - 1 = 12,68%
Composição Semanal:
- EAR = (1 + 12% / 52) 52 - 1 = 12,73%
Composição diária:
- EAR = (1 + 12% / 365) 365 - 1 = 12,747%
Composição contínua:
- EAR = e12% - 1 = 12,749%
Assim, como pode ser visto no exemplo anterior, o cálculo da taxa anual efetiva é maior quando é composta continuamente e menor quando a composição é feita anualmente.
Exemplo # 2
O cálculo é importante ao comparar dois investimentos diferentes. Vamos considerar o seguinte caso.
Um investidor tem $ 10.000 que ele pode investir em um instrumento financeiro A que tem uma taxa anual de 10% composta semestralmente ou ele pode investir em um instrumento financeiro B que tem uma taxa anual de 8% composta mensalmente. Precisamos descobrir qual instrumento financeiro é melhor para o investidor e por quê?
Para descobrir qual instrumento é melhor, devemos descobrir o valor que ele receberá após um ano de cada um dos investimentos:
Valor após um ano no Investimento A = P * (1 + i / n) n
Onde P é o principal, I é a taxa nominal e n é o número de períodos de composição que é 2 neste caso
- Portanto, montante após um ano no investimento A = 10.000 * (1 + 10% / 2) 2 A = $ 11025
Valor após um ano no Investimento B = P * (1 + i / n) n
Onde P é o principal, I é a taxa nominal e n é o número de períodos de composição que é 12 neste caso
- Portanto, montante após um ano no investimento A = 10.000 * (1 + 8% / 12) 12 = B = $ 10.830
Assim, neste caso, o investimento A é a melhor opção para o investidor, pois o valor ganho após um ano é mais no investimento A.
Se os juros forem compostos, resultam em juros mais elevados nos períodos subsequentes, sendo o maior no último período. Até agora, consideramos os valores totais do final do ano.
Exemplo # 3
Vejamos o exemplo a seguir para encontrar os juros ao final de cada período.
Um instrumento financeiro teve um investimento inicial de $ 5.000 com uma taxa anual de 15% composta trimestralmente. Vamos calcular os juros trimestrais recebidos sobre o investimento.
A taxa é composta trimestralmente, portanto, a taxa de juros para cada trimestre = 15% / 4 = 3,75%
Juros ganhos no primeiro trimestre = P (1 + i / n) n - P = 5.000 * (1 + 15% / 4) - 5.000 = $ 187,5
- Agora, o novo principal é 5000 + 187,5 = $ 5187,5
Assim, Juros ganhos no segundo trimestre = P (1 + i / n) n - P = 5187,5 * (1 + 15% / 4) - 5187,5 = $ 194,53
- Agora, o novo principal é 5187,5+ 194,53 = $ 5382,03
Assim, Juros ganhos no terceiro trimestre = P (1 + i / n) n - P = 5382,03 * (1 + 15% / 4) - 5382,03 = $ 201,82
- Agora, o novo principal é 5382,03+ 201,82 = $ 5583,85
Assim, Juros ganhos no quarto trimestre = P (1 + i / n) n - P = 5583,85 * (1 + 15% / 4) - 5583,85 = $ 209,39
- Portanto, o valor final após um ano será 5583,85 + 209,39 = $ 5793,25
No exemplo acima, vimos que os juros ganhos no quarto trimestre são os mais altos.
Conclusão
A taxa anual efetiva é a taxa real que o investidor ganha com seu investimento ou que o mutuário paga ao credor. Depende do número de períodos compostos e da taxa nominal de juros. A EAR aumenta se o número de períodos de capitalização aumentar para a mesma taxa nominal, sendo a mais alta se a capitalização for feita continuamente.
