Fórmula de pontuação Z

Fórmula para calcular o Z-Score

A pontuação Z de dados brutos refere-se à pontuação gerada pela medição de quantos desvios padrão acima ou abaixo da média da população estão os dados, o que ajuda a testar a hipótese em consideração. Em outras palavras, é a distância de um ponto de dados da média da população que é expressa como um múltiplo do desvio padrão.

  • Os escores z variam na faixa de -3 vezes o desvio padrão (extrema esquerda da distribuição normal) a +3 vezes o desvio padrão (extrema direita da distribuição normal).
  • Os escores z têm uma média de 0 e um desvio padrão de 1.

A equação do escore z de um ponto de dados é calculada subtraindo a média da população do ponto de dados (referido como x ) e, em seguida, o resultado é dividido pelo desvio padrão da população. Matematicamente, é representado como,

Pontuação Z = (x - μ) / ơ

Onde

  • x = Datapoint
  • μ = Média
  • ơ = desvio padrão

Cálculo da pontuação Z (passo a passo)

A Equação para pontuação z de um ponto de dados pode ser derivada usando as seguintes etapas:

  • Etapa 1: Em primeiro lugar, determine a média do conjunto de dados com base nos pontos de dados ou observações que são denotados por x i , enquanto o número total de pontos de dados no conjunto de dados é denotado por N.

  • Etapa 2: Em seguida, determine o desvio padrão da população com base na média da população μ, pontos de dados x i e o número de pontos de dados na população N.

  • Passo 3: Finalmente, o z-score é derivado subtraindo a média do ponto de dados e então o resultado é dividido pelo desvio padrão conforme mostrado abaixo.

Exemplos

Você pode baixar este modelo Z Score Formula Excel aqui - Z Score Formula Excel Template

Exemplo 1

Tomemos o exemplo de uma classe de 50 alunos que fizeram o teste de ciências na semana passada. Hoje é o dia do resultado e o professor da turma disse que John acertou 93 no teste enquanto a pontuação média da turma foi 68. Determine a pontuação z para a nota do teste de John se o desvio padrão for 13.

Solução:

Dado,

  • Pontuação do teste de John, x = 93
  • Média, μ = 68
  • Desvio padrão, ơ = 13

Portanto, a pontuação z para a pontuação do teste de John pode ser calculada usando a fórmula acima como,

Z = (93 - 68) / 13

O Z Score será -

Pontuação Z = 1,92

Portanto, a pontuação do Ztest de John é 1,92 desvio padrão acima da pontuação média da classe, o que significa que 97,26% da classe (49 alunos) pontuaram menos do que John.

Exemplo # 2

Tomemos outro exemplo detalhado de 30 alunos (já que o teste z não é apropriado para menos de 30 pontos de dados) que compareceram a um teste de classe. Determine a pontuação do teste z para o 4º aluno com base nas notas dos alunos em 100 - 55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66 , 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.

Solução:

Dado,

  • x = 65,
  • 4º aluno pontuou = 65,
  • Número de pontos de dados, N = 30.

Média = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30

Média = 71,30

Agora, o desvio padrão pode ser calculado usando a fórmula conforme mostrado abaixo,

ơ = 13,44

Portanto, a pontuação Z do 4º aluno pode ser calculada usando a fórmula acima como,

Z = (x - x) / s

  • Z = (65-30) / 13,44
  • Z = -0,47

Portanto, a pontuação do 4º aluno está 0,47 desvio padrão abaixo da pontuação média da turma, o que significa que 31,92% da turma (10 alunos) acertou menos que o 4º aluno na tabela de pontuação z.

Pontuação Z no Excel (com modelo do Excel)

Agora, vamos pegar o caso mencionado no exemplo 2 para ilustrar o conceito de z-score no modelo Excel abaixo.

Abaixo estão dados para o cálculo do Z Score

Você pode consultar a planilha do Excel fornecida abaixo para o cálculo detalhado das estatísticas do teste de fórmula de pontuação Z.

Relevância e usos

Do ponto de vista do teste de hipótese, o z-score é um conceito muito importante para entender porque é empregado para testar se uma estatística de teste cai ou não na faixa de valor aceitável. O z-score também é usado para padronizar os dados antes da análise, calcular a probabilidade de uma pontuação ou comparação de dois ou mais pontos de dados que são de diferentes distribuições normais. Existem diversas aplicações de pontuação z em todos os campos, se aplicadas corretamente.