Fórmula para calcular a distribuição binomial
A fórmula de distribuição binomial é usada para calcular a probabilidade de obter x sucessos nas n tentativas do experimento binomial que são independentes e a probabilidade é derivada pela combinação entre o número de tentativas e o número de sucessos representados por nCx é multiplicado pela probabilidade de sucesso gerado à potência do número de sucessos representados por px, que é posteriormente multiplicado pela probabilidade de falha elevada à potência da diferença entre o número de sucessos e o número de tentativas representadas por (1-p) nx.
A probabilidade de obter x sucessos em n tentativas independentes de um experimento binomial é dada pela seguinte fórmula de distribuição binomial:
P (X) = n C x px (1-p) nx
onde p é a probabilidade de sucesso
Na equação acima, n C x é usado, que nada mais é do que uma fórmula de combinações. A fórmula para calcular combinações é dada como n C x = n! / x! (nx)! onde n representa o número de itens (tentativas independentes) e x representa o número de itens sendo escolhidos por vez (sucessos).
No caso de n = 1 em uma distribuição binomial, a distribuição é conhecida como distribuição de Bernoulli. A média de uma distribuição binomial é np. A variância da distribuição binomial é np (1-p).
Cálculo da distribuição binomial (passo a passo)
O cálculo da distribuição binomial pode ser derivado usando as seguintes quatro etapas simples:
- Passo 1: Calcule a combinação entre o número de tentativas e o número de sucessos. A fórmula para n C x é onde n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Para um número n, o fatorial de n pode ser escrito como, n! = n * (n-1)! Por exemplo, 5! é 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Passo 2: Calcule a probabilidade de sucesso elevada à potência do número de sucessos que são px.
- Passo 3: Calcule a probabilidade de falha elevada à força da diferença entre o número de sucessos e o número de tentativas. A probabilidade de falha é 1-p. Assim, isso se refere à obtenção de (1-p) nx
- Etapa 4: Descubra o produto dos resultados obtidos na Etapa 1, Etapa 2 e Etapa 3.
Exemplos
Você pode baixar este modelo Excel de fórmula de distribuição binomial aqui - Modelo Excel de fórmula de distribuição binomialExemplo 1
O número de tentativas (n) é 10. A probabilidade de sucesso (p) é 0,5. Faça o cálculo da distribuição binomial para calcular a probabilidade de obter exatamente 6 sucessos.
Solução:
Use os seguintes dados para o cálculo da distribuição binomial.
O cálculo da distribuição binomial pode ser feito da seguinte forma,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Probabilidade de obter exatamente 6 sucessos será-
P (x = 6) = 0,205
A probabilidade de obter exatamente 6 sucessos é 0,2051
Exemplo # 2
O gerente de uma seguradora analisa os dados das apólices de seguro vendidas por vendedores de seguros que trabalham sob sua responsabilidade. Ele descobriu que 80% das pessoas que compram seguro automóvel são homens. Ele quer descobrir que, se 8 proprietários de seguros de automóveis forem selecionados aleatoriamente, qual seria a probabilidade de que exatamente 5 deles sejam homens.
Solução: primeiro temos que descobrir o que são n, p e x.
O cálculo da distribuição binomial pode ser feito da seguinte forma,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Probabilidade de exatamente 5 sucessos será-
P (x = 5) = 0,14680064
A probabilidade de exatamente 5 proprietários de seguros de automóveis serem homens é de 0,14680064.
Exemplo # 3
A administração do hospital está animada com a introdução de um novo medicamento para o tratamento de pacientes com câncer, pois a chance de uma pessoa ser tratada com sucesso por ele é muito alta. A probabilidade de um paciente ser tratado com sucesso com o medicamento é de 0,8. O medicamento é administrado a 10 pacientes. Encontre a probabilidade de 9 ou mais pacientes serem tratados com sucesso por ele.
Solução: primeiro temos que descobrir o que é n, p e x.
Temos que encontrar a probabilidade de 9 ou mais pacientes serem tratados com sucesso por ele. Assim, 9 ou 10 pacientes são tratados com sucesso por ele
x (número para o qual você deve encontrar probabilidade) = 9 ou x = 10
Temos que encontrar P (9) e P (10)
O cálculo da distribuição binomial para encontrar P (x = 9) pode ser feito da seguinte forma,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)
= 10 * 0,134217728 * 0,2
Probabilidade de 9 pacientes será-
P (x = 9) = 0,2684
O cálculo da distribuição binomial para encontrar P (x = 10) pode ser feito da seguinte forma,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 *
A probabilidade de 10 pacientes será-
P (x = 10) = 0,1074
Portanto, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Assim, a probabilidade de 9 ou mais pacientes serem tratados com o medicamento é de 0,375809638.
Calculadora de distribuição binomial
Você pode usar a seguinte calculadora de distribuição binomial.
| n | |
| p | |
| x | |
| Fórmula de distribuição binomial = | |
| Fórmula de distribuição binomial = | n C x * px * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0 - 0 = | 0 |
Relevância e Uso
- Existem apenas dois resultados
- A probabilidade de cada resultado permanece constante de tentativa para tentativa
- Há um número fixo de tentativas
- Cada ensaio é independente, ou seja, mutuamente exclusivo de outros
- Ele nos fornece a distribuição de frequência do número possível de resultados bem-sucedidos em um determinado número de tentativas, em que cada uma dessas tentativas tem a mesma probabilidade de sucesso.
- Cada tentativa em um experimento binomial pode resultar em apenas dois resultados possíveis. Portanto, o nome é 'binomial'. Um desses resultados é conhecido como sucesso e o outro como fracasso. Por exemplo, pessoas que estão doentes podem responder a um tratamento ou não.
- Da mesma forma, quando jogamos uma moeda, podemos ter apenas dois tipos de resultados: cara ou coroa. A distribuição binomial é uma distribuição discreta usada em estatísticas, que é diferente de uma distribuição contínua.
Um exemplo de experimento binomial é jogar uma moeda, digamos três vezes. Quando lançamos uma moeda, apenas 2 resultados são possíveis - cara e coroa. A probabilidade de cada resultado é 0,5. Visto que a moeda é lançada três vezes, o número de tentativas é fixo em 3. A probabilidade de cada lance não é influenciada por outros lances.
A distribuição binomial encontra suas aplicações nas estatísticas das ciências sociais. É usado para desenvolver modelos para variáveis de resultados dicotômicas onde há dois resultados. Um exemplo disso é se os republicanos ou democratas ganhariam as eleições.
Fórmula de distribuição binomial no Excel (com modelo do Excel)
Saurabh aprendeu sobre a equação de distribuição binomial na escola. Ele quer discutir o conceito com a irmã e fazer uma aposta com ela. Ele pensou que jogaria uma moeda imparcial 10 vezes. Ele quer apostar $ 100 em obter exatamente 5 caudas em 10 lançamentos. Para o propósito desta aposta, ele deseja calcular a probabilidade de obter exatamente 5 coroas em 10 lançamentos.
Solução: primeiro temos que descobrir o que é n, p e x.
Existe uma fórmula embutida para distribuição binomial é Excel, que é
É BINOM.DIST (número de sucessos, tentativas, probabilidade de sucesso, FALSE).
Para este exemplo de distribuição binomial seria:
= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) onde a célula B2 representa o número de sucessos, a célula B3 representa o número de tentativas e a célula B4 representa a probabilidade de sucesso.
Portanto, o cálculo da Distribuição Binomial será-
P (x = 5) = 0,24609375
A probabilidade de obter exatamente 5 caudas em 10 lançamentos é 0,24609375
Nota: FALSE na fórmula acima denota a função de massa de probabilidade. Ele calcula a probabilidade de haver exatamente n sucessos em n tentativas independentes. TRUE denota a função de distribuição cumulativa. Ele calcula a probabilidade de haver no máximo x sucessos em n tentativas independentes.
