Distribuição Exponencial

O que é distribuição exponencial?

A distribuição exponencial se refere à distribuição de probabilidade contínua e constante que é realmente usada para modelar o período de tempo que uma pessoa precisa esperar antes que um determinado evento aconteça e esta distribuição é uma contrapartida contínua de uma distribuição geométrica que é distinta.

Fórmula de Distribuição Exponencial

Uma variável aleatória contínua x (com parâmetro de escala λ> 0) é dita ter uma distribuição exponencial apenas se sua função de densidade de probabilidade pode ser expressa multiplicando o parâmetro de escala para a função exponencial de parâmetro de escala negativo e x para todos os x maiores que ou igual a zero, caso contrário, a função de densidade de probabilidade é igual a zero.

Matematicamente, a função de densidade de probabilidade é representada como,

de modo que a média seja igual a 1 / λ e a variância seja igual a 1 / λ2.

Cálculo da distribuição exponencial (passo a passo)

• Passo 1: Em primeiro lugar, tente descobrir se o evento em consideração é contínuo e independente por natureza e ocorre a uma taxa aproximadamente constante. Qualquer evento prático irá garantir que a variável seja maior ou igual a zero.
• Passo 2: Em seguida, determine o valor do parâmetro de escala, que é invariavelmente o recíproco da média.

• • λ = 1 / média

• Etapa 3: Em seguida, multiplique o parâmetro de escala λ e a variável x e, em seguida, calcule a função exponencial do produto multiplicada por menos um, ou seja, e– λ * x.
• Etapa 4: Finalmente, a função de densidade de probabilidade é calculada multiplicando a função exponencial e o parâmetro de escala.

Se a fórmula acima for verdadeira para todo x maior ou igual a zero, então x é uma distribuição exponencial.

Exemplo

Você pode baixar este modelo Excel de distribuição exponencial aqui - Modelo Excel de distribuição exponencial

Tomemos o exemplo, x que é a quantidade de tempo (em minutos) que um funcionário do escritório leva para entregar da mesa do gerente à mesa do secretário. A função de tempo gasto é assumida como tendo uma distribuição exponencial com a quantidade média de tempo igual a cinco minutos.

Dado que x é uma variável aleatória contínua, pois o tempo é medido.

Média, μ = 5 minutos

Portanto, o parâmetro de escala, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Portanto, a função de probabilidade de distribuição exponencial pode ser derivada como,

f (x) = 0,20 e– 0,20 * x

Agora, calcule a função de probabilidade em diferentes valores de x para derivar a curva de distribuição.

Para x = 0

função de probabilidade de distribuição exponencial para x = 0 será,

Da mesma forma, calcule a função de probabilidade de distribuição exponencial para x = 1 a x = 30

• Para x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
• Para x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
• Para x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
• Para x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
• Para x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
• Para x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
• Para x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
• Para x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
• Para x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
• Para x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
• Para x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
• Para x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
• Para x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
• Para x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
• Para x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
• Para x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
• Para x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
• Para x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
• Para x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
• Para x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
• Para x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
• Para x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
• Para x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
• Para x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
• Para x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
• Para x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
• Para x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
• Para x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
• Para x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
• Para x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
• Para x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Derivamos a curva de distribuição da seguinte forma,

Relevância e Uso

Embora a suposição de uma taxa constante seja muito raramente satisfeita nos cenários do mundo real, se o intervalo de tempo for selecionado de forma que a taxa seja aproximadamente constante, então a distribuição exponencial pode ser usada como um bom modelo aproximado. Tem muitas outras aplicações no campo da física, hidrologia, etc.

Em estatística e teoria de probabilidade, a expressão de distribuição exponencial se refere à distribuição de probabilidade que é usada para definir o tempo entre dois eventos sucessivos que ocorrem independentemente e continuamente em uma taxa média constante. É uma das distribuições contínuas amplamente utilizadas e está estritamente relacionada à distribuição de Poisson no Excel.