Teorema do Limite Central (Definição, Fórmula)

Definição do Teorema do Limite Central

Fórmula do Teorema do Limite Central

Já discutimos que quando o tamanho da amostra excede 30, a distribuição assume a forma de uma distribuição normal. Para determinar a distribuição normal de uma variável é importante conhecer sua média e sua variância. Uma distribuição normal pode ser definida como

X ~ N (µ, α)

Onde

N = não de observações
µ = média das observações
α = desvio padrão

Na maioria dos casos, as observações não revelam muito em sua forma bruta. Portanto, é muito importante padronizar as observações para poder compará-las. Isso é feito com a ajuda do z-score. É necessário calcular o Z-score para uma observação. A fórmula para calcular o z-score é

Z = (X- µ) / α / √n

Onde

Z = pontuação Z das observações
µ = média das observações
α = desvio padrão
n = tamanho da amostra

Explicação

O teorema do limite central afirma que as amostras aleatórias de uma variável aleatória da população com qualquer distribuição se aproximarão de uma distribuição de probabilidade normal conforme o tamanho da amostra aumenta. O teorema do limite central assume que como o tamanho da amostra na população excede 30, a média da amostra, cuja média de todas as observações para a amostra será quase igual à média para a população. Além disso, o desvio padrão da amostra quando o tamanho da amostra exceder 30 será igual ao desvio padrão da população. Como a amostra é escolhida aleatoriamente de toda a população e o tamanho da amostra é superior a 30, isso ajuda no teste de hipótese e na construção do intervalo de confiança para o teste de hipótese.

Exemplos de Fórmula do Teorema do Limite Central (com modelo Excel)

Você pode baixar este modelo em Excel de Fórmula de Teorema do Limite Central aqui - Modelo em Excel de Fórmula de Teorema do Limite Central

Exemplo 1

Vamos entender o conceito de distribuição normal com a ajuda de um exemplo. O retorno médio de um fundo mútuo é de 12% e o desvio padrão do retorno médio do investimento do fundo mútuo é de 18%. Se assumirmos que a distribuição do retorno é normalmente distribuída, então vamos interpretar a distribuição pelo retorno do investimento do fundo mútuo.

Dado,

O retorno médio do investimento será de 12%
O desvio padrão será de 18%

Portanto, a fim de descobrir o retorno para um intervalo de confiança de 95%, podemos descobri-lo resolvendo a equação como

Faixa superior = 12 + 1,96 (18) = 47%
Faixa Inferior = 12 - 1,96 (18) = -23%

O resultado significa que 95% das vezes o retorno do fundo mútuo ficará na faixa de 47% a -23%. Neste exemplo, o tamanho da amostra que é o retorno de uma amostra aleatória de mais de 30 observações de retorno nos fornecerá o resultado para o retorno da população do fundo mútuo, pois a distribuição da amostra será normalmente distribuída.

Exemplo # 2

Continuando com o mesmo exemplo, vamos determinar qual será o resultado para um intervalo de confiança de 90%

Dado,

O retorno médio do investimento será de 12%
O desvio padrão será de 18%

Assim, a fim de descobrir o retorno para um intervalo de confiança de 90%, podemos descobrir resolvendo a equação como

Faixa superior = 12 + 1,65 (18) = 42%
Intervalo inferior = 12 - 1,65 (18) = -18%

O resultado significa que 90% das vezes o retorno do fundo mútuo ficará na faixa de 42% a -18%.

Exemplo # 3

Continuando com o mesmo exemplo, vamos determinar qual será o resultado para um intervalo de confiança de 99%

Dado,

O retorno médio do investimento será de 12%
O desvio padrão será de 18%

Assim, a fim de descobrir o retorno para um intervalo de confiança de 90%, podemos descobrir resolvendo a equação como

Faixa superior = 12 + 2,58 (18) = 58%
Faixa Inferior = 12 - 2,58 (18) = -34%

O resultado significa que 99% das vezes o retorno do fundo mútuo ficará na faixa de 58% a -34%.

Relevância e Uso

O teorema do limite central é extremamente útil, pois permite ao pesquisador prever a média e o desvio padrão de toda a população com a ajuda da amostra. Como a amostra é escolhida aleatoriamente de toda a população e o tamanho da amostra é superior a 30, então qualquer tamanho de amostra aleatório retirado da população se aproximará de ser distribuído normalmente, o que ajudará no teste de hipótese e na construção do intervalo de confiança para a hipótese testando. Com base no teorema do limite central,o pesquisador é capaz de escolher qualquer amostra aleatória de toda a população e quando o tamanho da amostra for superior a 30, ele pode prever a população com a ajuda da amostra, pois a amostra seguirá uma distribuição normal e também como a média e o desvio padrão da amostra será igual à média e o desvio padrão da população.